Doğrusal Olmayan Dinamik Tersleme ve Artımsal Yaklaşım (INDI)

Doğrusal olmayan dinamik tersleme, karmaşık ve doğrusal olmayan sistemlerin kontrolünde, sistem dinamiklerinin matematiksel olarak terslenmesi esasına dayanan model tabanlı bir kontrol yaklaşımıdır. Bu yöntem, özellikle dikey inişli roketler gibi yüksek manevra kabiliyeti gerektiren, parametreleri zamanla değişen ve doğrusal varsayımların geçerliliğini yitirdiği sistemlerde yaygın olarak kullanılmaktadır. Artımsal Doğrusal Olmayan Dinamik Tersleme (Incremental Nonlinear Dynamic Inversion – INDI) ise bu yaklaşımın, model belirsizliklerine ve ölçüm hatalarına karşı daha dayanıklı olacak şekilde geliştirilmiş bir türevidir.

Dikey inişli roketlerde kontrol problemi, yalnızca konum takibini değil; aynı zamanda roketin yöneliminin, açısal hızlarının ve açısal ivmelerinin eş zamanlı olarak düzenlenmesini gerektirir. İniş fazında roket, düşük hızlarda çalışmasına rağmen küçük kontrol hataları büyük konum sapmalarına yol açabilir. Bu nedenle kontrol algoritmasının, sistemin gerçek zamanlı davranışını dikkate alması ve anlık değişimlere hızlı biçimde uyum sağlaması kritik öneme sahiptir. Doğrusal olmayan dinamik tersleme ve artımsal yaklaşım, bu gereksinimleri karşılamaya yönelik olarak geliştirilmiştir.

Dinamik tersleme yaklaşımı, bir sistemin istenen hareketi gerçekleştirebilmesi için gerekli fiziksel büyüklüklerin neden–sonuç ilişkisi içinde ele alınmasına dayanır. Dikey inişli bir roket için bu ilişki, konumdan başlayarak hız, ivme ve nihayetinde kuvvet veya moment girdilerine uzanan hiyerarşik bir yapı oluşturur. Dinamik tersleme, bu hiyerarşiyi matematiksel olarak ters yönde ele alarak, istenen hareketi sağlayacak kontrol girdisinin doğrudan hesaplanmasını amaçlar.

^{Dikey inişli roket - hedef alana iniş - şekil 1}

Şekil 1, hedef bölgeye dikey ve yumuşak bir inişin kavramsal gösterimini sunmaktadır. Amaç, vinçten X noktasında serbest bırakılan aracın Y noktasında yere temas etmesidir. Bu gereksinimin sağlanabilmesi için kontrol algoritmasının roketi belirli bir roll/pitch açısına yatırması, aracı istenen konuma doğru yönlendirmesi ve hedef noktaya ulaşıldığında tekrar dik duruma getirmesi gerekir. Bu problemin çözümü dinamik tersleme yaklaşımına dayanmaktadır.

Yöntem, şu mantık zincirini izler: Roketi X konumundan Y konumuna hareket ettirebilmek için roketin A büyüklüğünde bir açıyla yatması gerekir. A açısına ulaşabilmek için roketin B büyüklüğünde bir açısal hıza erişmesi zorunludur. B büyüklüğündeki açısal hıza ulaşabilmek için roketin C büyüklüğünde bir açısal ivme üretmesi gerekir. C büyüklüğündeki açısal ivmenin oluşturulabilmesi ise roket üzerine D büyüklüğünde bir momentin (N·m) uygulanmasını gerektirir. Bu yaklaşım, dikey inişli roketlerin kontrol probleminde doğrusal olmayan dinamik tersleme yöntemlerinin temelini oluşturmaktadır.

Doğrusal Olmayan Dinamik Tersleme (Nonlinear Dynamic Inversion – NDI), doğrusal olmayan sistemlerin kontrolünde, sistemin matematiksel modelinin açık biçimde kullanıldığı model tabanlı bir kontrol yaklaşımıdır. Bu yöntemde amaç, sistemin doğal doğrusal olmayan dinamiklerini kontrol girdisi aracılığıyla iptal ederek, kapalı çevrim davranışı kontrolcü tarafından belirlenen istenen bir dinamiğe zorlamaktır.

Genel bir doğrusal olmayan sistem aşağıdaki şekilde ifade edilir:

$\dot{x}=f(x)+G(x)u$

Burada

$x$: durum vektörü

$f(x)$: kontrol girdisinin etkilemediği, sistemin doğal dinamikleri

$G(x)$: kontrol girdisinin sistem üzerindeki etkisi

$u$: kontrol girdisi

olarak ifade edilir. NDI yaklaşımında, sistemin istenen davranışı sanal bir kontrol girdisi $v$ tanımlanarak belirlenir ve kontrol girdisi şu şekilde seçilir:

$u=G(x{)}^{-1}(v-f(x))$

Bu kontrol yasası ile sistem dinamiği şu biçime indirgenir:

$\dot{x}=v$

Bu kontrol yasası uygulandığında, kapalı çevrim sistem dinamiği kontrolcü açısından basitleştirilmiş bir yapıya indirgenir ve sistem, istenen dinamik özellikleri sağlayacak biçimde zorlanmış olur. Bu bağlamda $v$ terimi, fiziksel bir büyüklük değil, kontrol tasarımcısı tarafından belirlenen hedef kapalı çevrim dinamiğini temsil eden sanal bir girdidir.

Dikey inişli roketler bağlamında NDI, roketin translasyonel ve açısal hareket denklemlerinin doğrudan kullanılarak, istenen ivme veya açısal ivmenin elde edilmesini mümkün kılar. Bu sayede konum, hız ve yönelim gibi üst seviye hedefler, kuvvet ve moment girdileri üzerinden doğrudan kontrol edilebilir.

Bununla birlikte NDI yönteminin temel bir varsayımı, sistem dinamiklerinin ve kontrol etkinliklerinin doğru ve eksiksiz biçimde bilinmesidir. Dikey inişli roketlerde kütlenin zamanla değişmesi, itki üretim mekanizmasının doğrusal olmaması, aerodinamik etkiler ve sensör belirsizlikleri gibi unsurlar bu varsayımı zorlaştırmaktadır. Modeldeki küçük hatalar dahi, dinamiklerin terslenmesi sürecinde büyüyerek kontrol performansını ve kararlılığı olumsuz etkileyebilir.

Bu nedenle, doğrusal olmayan dinamik tersleme yaklaşımı pratik uygulamalarda tek başına yeterli olmamakta; model belirsizliklerine karşı daha dayanıklı kontrol yöntemlerine ihtiyaç duyulmaktadır. Bu gereksinim, artımsal doğrusal olmayan dinamik tersleme yaklaşımının (INDI) geliştirilmesine zemin hazırlamıştır.

Artımsal Doğrusal Olmayan Dinamik Tersleme (Incremental Nonlinear Dynamic Inversion – INDI), klasik NDI yaklaşımının model belirsizliklerine karşı hassasiyetini azaltmak amacıyla geliştirilmiştir. Bu yöntemde sistemin mutlak dinamik modeli yerine, ölçülen veya tahmin edilen anlık dinamik değişimler esas alınır. Böylece kontrol algoritması, model doğruluğuna bağımlı olmaktan ziyade sistemin gerçek zamanlı davranışına dayalı olarak çalışır.

INDI yaklaşımında, sistemin iki ardışık zaman anı arasındaki davranışı dikkate alınır. $t_k$ ve $t_{k+1}$zaman anları için sistem dinamiği şu şekilde yazılabilir:

$\dot{x}(t_{k+1})=f(x(t_{k+1}))+G(x(t_{k+1}))u(x(t_{k+1}))$

$\dot{x}(t_k)=f(x(t_k))+G(x(t_k))u(x(t_k))$

Bu iki ifade arasındaki fark alındığında:

$\Delta \dot{x}={\dot{x}}_{k+1}-{\dot{x}}_k$

elde edilir. Zaman adımının yeterince küçük olduğu ve bu nedenle

$x(t_{k+1})\approx x(t_k)$

kabul edilerek:

$$\begin{gathered} f(x(t_{k+1}))\approx f(x(t_k)) \\ G(x(t_{k+1}))\approx G(x(t_k)) \end{gathered}$$

^(1.1)

varsayımı yapılır. Bu varsayım ile, sistem dinamiklerindeki değişimin baskın olarak kontrol girdisindeki değişimden kaynaklandığı kabul edilir.

Bu durumda artımsal dinamik :

$\dot{x}(t_{k+1})-\dot{x}(t_k)=f(x(t_{k+1}))-f(x(t_k))+G(x(t_{k+1}))u(t_{k+1})-G(x(t_k))u(t_k)$

^(1.2)

eşitliği ile ifade edilir. (1.1)'de yaptığımız varsayımı kullanarak (1.2) üzerinde sadeleştirme yaparsak,

$\Delta \dot{x}=G(x)\Delta u$

^(1.3)

ifadesi elde edilir. Bu ifade, INDI’nin temel matematiksel kırılma noktasıdır. Kontrol hedefi, ölçülen durum türevinin istenen sanal kontrol girdisine eşitlenmesidir:

$\dot{x}=v-{\dot{x}}_{meas}$

Yani $\dot{x}$, roketin sahip olması hedeflenen ivme ile ölçülen ivme arasındaki farka eşittir. Bu durumu (1.3)'de yerine koyarsak:

$\Delta u=G(x{)}^{-1}(v-{\dot{x}}_{meas})$

eşitliği ile INDI'nin genel denklemi elde edilir.

Bu noktada NDI ve INDI arasındaki temel matematiksel fark net biçimde ortaya çıkar:

• NDI :$u=G(x{)}^{-1}(v-f(x))$
• INDI :$\Delta u=G(x{)}^{-1}(v-{\dot{x}}_{meas})$

INDI’de $f(x)$terimi tamamen ortadan kalkmış, yerine ölçülen durum türevi geçmiştir.

Dikey inişli roketlerde sistem dinamiklerinin tam olarak modellenmesi zordur. INDI yaklaşımı, açısal ivme veya doğrusal ivme gibi büyüklüklerin doğrudan ölçülmesine dayanarak, bu belirsizlikleri kontrol yasası içinde doğal olarak bastırır. Bu nedenle INDI, özellikle dikey inişli roketlerin iniş fazında, klasik NDI’ye kıyasla daha dayanıklı bir kontrol yapısı sunar.

Artımsal doğrusal olmayan dinamik tersleme yaklaşımında, kontrol etkinlik matrisi $G(x)$’in terslenebilir olduğu varsayılmaktadır. Ancak bazı durumlarda, sistemin tüm durum türevleri kontrol girdileri tarafından doğrudan etkilenmediğinden, $G(x)$ matrisinin kare olmaması veya tekil hâle gelmesi mümkündür. Bu tür durumlarda $G(x{)}^{-1}$ ifadesi doğrudan tanımlanamaz.

Bu durumun ele alınmasında yaygın bir yaklaşım, kullanılan matematiksel modelde kontrol girdilerinin, yani $u$ vektörünün, doğrudan etkili olmadığı durum türevlerinin durum uzayı tanımından çıkarılmasıdır. Başka bir ifadeyle, kontrol çıktılarının doğrudan etkilemediği stateler kontrol tasarımının dışında bırakılarak, yalnızca kontrol edilebilir durumlar üzerinden yeni bir durum vektörü tanımlanabilir. Bu şekilde yeniden tanımlanan sistem için elde edilen $G(x)$ matrisi kare ve terslenebilir hâle gelir ve INDI denklemi doğrudan uygulanabilir.

Alternatif olarak, tüm durumların korunmasının istendiği durumlarda, kontrol etkinlik matrisinin yalancı tersi (pseudo-inverse) kullanılarak INDI denklemi genelleştirilebilir. Bu yaklaşım, kontrol edilemeyen durumlar üzerindeki hatayı en küçük kareler anlamında minimize eden bir çözüm sunar.

Her iki yöntem de, sistemin fiziksel yapısına ve kontrol tasarımından beklenen hedeflere bağlı olarak tercih edilebilir. Dikey inişli roket uygulamalarında, kontrol girdilerinin doğrudan etkili olduğu durumların açık biçimde seçilmesi, sayısal kararlılık ve uygulama kolaylığı açısından sıklıkla tercih edilen bir yaklaşımdır.

"Dikey İnişli Roketlerde Matematiksel Modelleme” başlıklı maddede sunulan dinamik model temel alındığında, artımsal doğrusal olmayan dinamik tersleme yaklaşımı bu modele doğrudan uyarlanabilir. Bu kapsamda, dikey inişli roket için elde edilen kontrol etkinlik matrisi kullanılarak INDI kontrolcüsünün matris gösterimi aşağıdaki şekilde yazılabilir.

$\underset{\Delta u}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}\Delta F_x\\ \Delta F_y\\ \Delta F_z\\ \Delta L\\ \Delta M\\ \Delta N\end{array}\right]}}=\underset{G^{-1}}{\underbrace{\left[\begin{array}{cccccc}m{R}_{11}& m{R}_{21}& m{R}_{31}& 0& 0& 0\\ m{R}_{12}& m{R}_{22}& m{R}_{32}& 0& 0& 0\\ m{R}_{13}& m{R}_{23}& m{R}_{33}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& I_x& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& I_y& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& I_z\end{array}\right]}}(\underset{v}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}{\dot{V}}_{x,\text{des}}\\ {\dot{V}}_{y,\text{des}}\\ {\dot{V}}_{z,\text{des}}\\ {\dot{p}}_{\text{des}}\\ {\dot{q}}_{\text{des}}\\ {\dot{r}}_{\text{des}}\end{array}\right]}}-\underset{{\dot{x}}_{\text{meas}}}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}{\dot{V}}_{x,\text{meas}}\\ {\dot{V}}_{y,\text{meas}}\\ {\dot{V}}_{z,\text{meas}}\\ {\dot{p}}_{\text{meas}}\\ {\dot{q}}_{\text{meas}}\\ {\dot{r}}_{\text{meas}}\end{array}\right]}})$